≡ 21 Январь 2012

Это нужно знать каждой женщине!!!

Пусть даны две функции $\ f(x)$ и $\ g(x)$ такие, что:

$\ f(x)$ и $\ g(x)$ определены и непрерывны на отрезке $\ [a,b]$ ;
производные $\ f'(x)$ и $\ g'(x)$ конечны на интервале $\ (a,b)$ ;
производные $\ f'(x)$ и $\ g'(x)$ не обращаются в нуль одновременно на интервале $\ (a,b)$
$g(a) \neq g(b)$ ;

тогда

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$ , где $c \in (a,b)$

(Если убрать условие 4, то необходимо усилить условие 3: g'(x) не должна обращаться в ноль нигде в интервале $(a, b)$ .)

Для доказательства введём функцию

$F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a)).$

Для неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны $f (a)$ . Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка $c$ , в которой производная функции $F$ равна нулю, а $\frac {f'(c)} {g'(c)}$ равна как раз необходимому числу.

Это нужно знать каждой женщине!!!

Комментарии: