Это нужно знать каждой женщине!!!


Пусть даны две функции \ f(x) и \ g(x) такие, что:

  1. \ f(x) и \ g(x) определены и непрерывны на отрезке \ [a,b];
  2. производные \ f'(x) и \ g'(x) конечны на интервале \ (a,b);
  3. производные \ f'(x) и \ g'(x) не обращаются в нуль одновременно на интервале \ (a,b)
  4. g(a) \neq g(b);


тогда

\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}, где c \in (a,b)

(Если убрать условие 4, то необходимо усилить условие 3: g'(x) не должна обращаться в ноль нигде в интервале (a,b).)

Для доказательства введём функцию

F(x) = f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a)).

Для неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны f(a). Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка c, в которой производная функции F равна нулю, а \frac {f'(c)} {g'(c)} равна как раз необходимому числу.









Комментарии:



Поиск по сайту



Архивы
© 2018   ОПТИМИСТ   //  Вверх   //